Артем Анчуков родился 19 июля 1981 года в Вологде. Окончил в Санкт-Петербурге Российский государственный институт сценических искусств (СПбГАТИ) в 2003 году. После выпуска стал работать актером петербургского государственного музыкально-драматического театра «Буфф». В 2017 году ему присвоили звание народного артиста Ингушетии.
На счету артиста почти 70 ролей в сериалах «Улицы разбитых фонарей», «Агентство НЛС», «Бандитский Петербург», «Опера. Хроники убойного отдела», «Молодежка», «Тайны следствия», «Невский» и других.
Анчуков выступал в дуэте с певицей Татьяной Булановой. Она и сообщила о его смерти. «Ковид. Утром Артема Анчукова не стало», — написала она в Instagram (запрещенная в России экстремистская организация). Как рассказала Буланова Пятому каналу, «где-то неделю он был дома с температурой, потом сам поехал в больницу, ещё где-то неделю пролежал. Затем начались осложнения — в больнице уже. Не выкарабкался, к сожалению». По её словам, в общей сложности Артем Анчуков болел более двух недель.